0⁰

거듭제곱의 특수한 경우로, 대부분의 교과 과정에서는 0으로 나누기와 같이 부정형(indeterminate)으로 본다. 이는 다음 두 가지 사실에서 유래하는데,

• x⁰은 x가 0이 아닐 때는 항상 1이다.
• 0^y는 y가 0보다 클 때는 항상 0이다.

0⁰은 이 두 경우를 확장했을 때 겹치는 값이기 때문에 둘 중 하나를 딱히 결정할 수는 없다. 좀 더 정확히 말하면 물론 $\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0$이긴 하지만, $\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)}$는 $f(t)$와 $g(t)$에 따라서 다른 극한값이 나올 수 있기 때문에 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} x^y$는 부정형이다.

이 논리의 가장 큰 문제는 0⁰의 값을 정의하는 것은 0⁰에 대응하는 극한값의 존재와는 전혀 무관하다는 것이다. 이를테면 $a^b = \frac{a^{b+1}}{a}$이라는 등식에 $a = b = 0$을 대입하면 $0^0 = \frac00$이라는 결과를 얻는데, $\frac00$이 정의되지 않으므로 이 등식에는 처음부터 $a \ne 0$이라는 조건이 붙어 있고, 따라서 이 결과는 의미를 가지지 않는다. 해석적 연속(analytic continuation)과 같이, 정의역을 늘렸을 때 적은 모순으로 유용한 결과를 얻을 수 있다면 수학적으로 정당화될 수 있다.

0⁰ = 1 #

만약 0⁰을 정의해야 한다면 가장 좋은 값은 0⁰ = 1이다. 가장 큰 이유는 거듭제곱의 정의에서 유래하는데, 만약:

$$ a^b = \overbrace{a \times \cdots \times a}^{b} = 1 \times \overbrace{a \times \cdots \times a}^{b} $$

라는 정의를 받아 들이면 a⁰는 어떤 a에 대해서도 1인게 자연스럽다. 반면 0^b의 정의를 확장하는 것만으로는 이런 직관적인 결과를 얻을 수 없다.

0⁰을 1로 정의하면 특히 조합수학과 집합론에서 예외적인 경우를 크게 줄일 수 있다. 예를 들어 이항법칙 $(1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{k}{n} x^k$은 0⁰이 정의되어 있지 않으면 $x = 0$일 때 아예 정의되지 않는다. 이런 이유 때문에 컴퓨터에서는 0⁰ = 1로 정의된 경우가 많으며, 대표적인 예로 IEEE 754 pow 함수가 있다.